Уравнения математической физики — Теоретические материалы

Тема 1. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Штурма - Лиувилля (1.1. Понятие краевой задачи. 1.2. Общая схема решения краевой задачи. 1.3. Общие свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма – Лиувилля. 1.4. Неоднородная краевая  задача)

Тема 2. Классификация дифференциальных  уравнений с частными производными. Канонические формы линейных дифференциальных уравнений (2.1. Классификация уравнений. 2.2. Приведение уравнения к каноническому виду). 

Тема 3. Постановка краевых задач для волнового уравнения (3.1. Однородные граничные условия. 3.2. Общий случай (неоднородные граничные условия). 3.3. Метод редукции общей задачи)

Тема 4. Уравнение колебаний бесконечной струны. Формула Даламбера (4.1. Задача Коши для уравнения колебаний бесконечной струны. Вывод формулы Даламбера. 4.2. Задача Коши для неоднородного уравнения колебаний)

Тема 5. Уравнение колебаний полубесконечной струны. Метод продолжения (5.1. Распространение волн на полубесконечной прямой. 5.2. Решение волнового уравнения с неоднородными граничными условиями)

Тема 6. Решение уравнений в ограниченных областях. Метод разделения переменных (6.1. Метод разделения переменных для однородного уравнения. 6.2. Метод разделения переменных для неоднородного уравнения. 6.3. Сведение задачи с неоднородными граничными условиями к задаче с однородными условиями)

Тема 7. Краевые задачи для уравнения теплопроводности. Распространение тепла на бесконечной прямой (7.1. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности. 7.2. Задача Коши. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. 7.3. Решение неоднородного уравнения теплопроводности)

Тема 8. Распространение тепла на полубесконечной прямой (8.1. Виды краевых условий. 8.2. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности)

Тема 9. Уравнение Лапласа (9.1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа. 9.2. Постановка краевых задач. 9.3. Первая краевая задача Дирихле для круга. 9.4. Математическая постановка задачи Дирихле внутри круга. 9.5. Математическая постановка задачи Дирихле вне круга. 9.6. Интеграл Пуассона)

Тема 10. Уравнение Лапласа в прямоугольных областях

Тема 11. Понятие корректно поставленной задачи. Теоремы единственности (11.1. Теорема единственности решения волнового уравнения колебаний. 11.2. Теорема единственности решения уравнения теплопроводности. 11.3. Устойчивость решений задачи Коши для уравнения колебаний бесконечной струны)

Тема 12. Применение метода подобия в задачах математической физики (12.1. Математические основы метода подобия. 12.2. Практика использования метода подобия. 12.3. Применение метода подобия к решению уравнения теплопроводности)