Практикум по Математическому анализу часть 1 — Тематическое содержание дисциплины

1  

Основы теории множеств. Кванторы. Предикаты. Числовые множества. Последовательности.

Функция. Способы задания. Область определения. Основные элементарные функции. Построение эскизов графиков функций с помощью элементарных преобразований. Абсолютная величина, ее свойства.

2

Последовательность как функция целочисленного аргумента. Предел последовательности.

Предел функции в точке. Геометрический смысл. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности. Бесконечно малые, бесконечно большие функции. Ограниченные функции.

3

Свойства бесконечно малых. Алгебраические свойства пределов (переход к переделу в равенствах и неравенствах).

I замечательный предел. II замечательный предел.

Сравнение бесконечно малых.  Эквивалентные бесконечно малые, их свойства. Эквивалентные бесконечно большие.

4

 Непрерывность функции в точке, интервале, на отрезке. Действия с непрерывными функциями.

Точки разрыва, их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

5 

Производная. Геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных.

Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

6

Производные высших порядков. Дифференциал, его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала.

Дифференциалы высших порядков. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

7

Теоремы Ферма, Роля. Формулы Лагранжа, Коши.

Правило Лопиталя.

8

Признаки постоянства, монотонности функции. Понятие экстремума. Необходимое и достаточное условие существования экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие выпуклости, вогнутости кривой. Точки перегиба, асимптоты. Алгоритм полного исследования функций.

9

Первообразная, её свойства. Неопределенный интеграл, свойства. Таблица интегралов.

Интегрирование по частям. Основные рекомендации. Интегрирование заменой переменной.

10

Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование некоторых тригонометрических и иррациональных функций.

11

Определенный интеграл, определение, существование, свойства.

Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.

12

Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле.

Несобственный интеграл I рода, определение, признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость.

13

Несобственные интегралы II рода, определение, признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость.

Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.

14

Вычисление длины дуги кривой в декартовых и полярных координатах. Объем тела вращения.